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映射
学习要求
1、了解映射的概念,能够判定一些简单的对应是不是映射。
2、通过对映射特殊化的分析,揭示出映射与函数之间的内在联系。
自学评价
1、对应是两个集合元素之间的一种关系,对应关系可用图示或文字描述来表示。
2、一般地设A、B两个集合,如果按某种对应法则f,对于A中的每一个元素,在B中都有唯一的元素与之对应,那么,这样的单值对应叫做集合A到集合B的映射,记作:f:A→B
3、由映射的概念可以看出,映射是函数概念的推广,特殊在函数概念中,A、B为两个非空数集。
【精典范例】
一、判断对应是否为映射
例1、下列集合M到P的对应f是映射的是( )
A.M={-2,0,2},P={-1,0,4},f:M中数的平方
B.M={0,1},P={-1,0,1},f:M中数的平方根
C.M=Z,P=Q,f:M中数的倒数。
D.M=R,P=R+,f:M中数的平方
【解】:
判定对应f:A→B是否是映射,关键是看是否符合映射的定义,即集合A中的每一个元素在B中是否有象且唯一,若不是映射只要举一反例即可。
答案:选择A
二、映射概念的应用
例2、已知集合A=R,B={(x,y)|x,y∈R},f:A→B是从A到B的映射,f:x→(x+1,x2+1),求A中的元素 在B中的象和B中元素( , )在A中的原象。
思维分析:将x= 代入对应关系,可求出其在B中对应元素,( , )在A中对应的元素可通过列方程组解出。
【解】:
将x= 代入对应关系,可求出其在B中的对应元素( +1,3). 可通过列方程组也可求出( , )在A中对应的元素为
三、映射与函数的关系
例3、给出下列四个对应的关系
①A=N*,B=Z,f:x→y=2x-3;
②A={1,2,3,4,5,6},B={y|y∈N*,y≤5},f:x→y=|x-1|;
③A={x|x≥2},B={y|y=x2-4x+3},f:x→y=x-3;
④A=N,B={y∈N*|y=2x-1,x∈N*},f:x→y=2x-1。
上述四个对应中是函数的有( )
A.① B.①③ C.②③ D.③④
思维分析:判断两个集合之间的.对应是否构成函数,首先应判断能否构成映射,且构成映射的两个集合之间对应必须是非空数集之间的对应。
【解】:
①中,对x∈A,在f作用下,在B中都有唯一的象,因此能构成映射.由于A、B均为非空数集,因而能构成函数;②中,当x=1时,y=0 B,即集合A中的元素1在集合B中无象,因而不能构成映射,从而也不能构成函数;④中,当x=0时,y=-1 B,即0在B中无象,因而不能构成映射,也就不能构成函数;③中的两个对应符合映射的定义,且两个集合均为非空数集,因而能构成函数。
答案:B
【选修延伸】
求映射的个数问题
例4、已知A={a,b,c},B={-1,0,1},映射f:A→B满足f(a)+f(b)=f(c),求映射f: A→B的个数。
思维分析:可让A中元素在f下对应B中的一个、两个或三个元素,并且满足f(a)+f(b)=f(c),需分类讨论。
【解】:(1)当A中三个元素都是对应0时,则f(a)+f(b)=0+0=0=f(c)有1个映射。
(2)当A中三个元素对应B中两个时,满足f(a)+f(b)=f(c)的映射有4个,分别为1+0=0,0+1=0,(-1)+0=-1,0+(-1)=-1.
(3)当A中的三个元素对应B中的三个元素时,有两个映射,分别为(-1)+1=0,1+(-1)=0.
因此满足题设条件的映射有7个。
追踪训练
1、下列对应是A到B上的映射的是( )
A.A=N*,B=N*,f:x→|x-3|
B.A=N*,B={-1,1, -2},f:x→(-1)x
C.A=Z,B=Q,f:x→
D.A=N*,B=R,f:x→x的平方根
答案:B
2、设f:A→B是集合A到B的映射,下列命题中是真命题的是( )
A.A中不同元素必有不同的象
B.B中每一个元素在A中必有原象
C.A中每一个元素在B中必有象
D.B中每一个元素在A中的原象唯一
答案:C
3、已知映射f: A→B,下面命题:
(1)A中的每一个元素在B中有且仅有一个象;
(2)A中不同的元素在B中的象必不相同;
(3)B中的元素在A中都有原象
(4)B中的元素在A中可以有两个以上的原象也可以没有原象。
假命题的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案:B
4、已知映射f: A→B,其中集合A={-3,-2,-1,1,2,3,4},集合B中元素都是A中的元素在映射f下的象,且对任意a∈A,在B中和它对应的元素是|a|,则集合B中的元素的个数是( )
A.4 B.5 C.6 D.7
答案:A
5、若f:y=3x+1是从集合A={1,2,3,k}到集合B={4,7,a4,a2+3a}的一个映射,该映射满足B中任何一个元素均有原象,求自然数a、k及集合A、B.
答案:a=2, k=5, A={1,2,3,5} B={4,7,10,16}